PROPORCIONALITAT, PERCENTATGES I INTERÈS

MATEMATICAS SECUNDARIA

RECURSOS

Una proporció no és més que una igualtat entre dues o més fraccions (magnituds):

ab=cd

on a i d s'anomenen extrems i b i c, mitjans.

 

Direm que la proporció és directa si relacionen magnituds en les que en augmentar una també ho fa l'altra i viceversa.

En aquest cas la regla de tres s'aplicarà de la següent manera:

imagen

Exemple

Si el quilo de cireres va a 4,5 €, quant costarà comprar mig quilo?

Tenim una proporcionalitat directa ja que a menys quilos que comprem més barat ens costarà.

Tenim la relació de proporcionalitat:

1 kg   4,5 

1/2 kg→ X €

Aplicant la regla de tres tenim:

x=(1/24,5)/1=0,54,5=2,25 €

És a dir, mig quilo de cireres costaran la meitat que un quilo.

 

Direm que la proporció és inversa si implica una relació de magnituds que al augmentar una l'altra disminueix i viceversa. En aquest cas la regla de tres s'aplicarà de la següent manera:

imagen

Exemple

Si 2 agricultors triguen 10 dies en llaurar un camp, quant trigaran 5 agricultors a realitzar la mateixa feina?

Es tracta clarament d'un exemple de proporció inversa, ja que a més agricultors treballant menys temps es trigarà a llaurar el mateix camp.

Per resoldre s'aplica la regla de tres com s'ha ensenyat:

2 agricultors10 dies

5 agricultors→ x dies

I es resol:

x=(210)/5=20/5=4 dies

És a dir, mentre que dos agricultors triguen 10 dies, amb l'ajuda d'altres 3 companys aconsegueixen fer la mateixa feina en només 4 dies.

 

El tant per cent d'una quantitat, que té per símbol %, significa que de cada 100 parts d'aquesta quantitat en prenem el tant indicat.

Per calcular el tant per cent d'una quantitat, multipliquem la quantitat pel tant per cent i ho dividim entre 100.

 

Exemple

Calcula el 30% de 200.

30% de 200 =  · 200 = 60  El 30% de 200 és 60.

 

Exemple

El 40% dels 355 alumnes d'un institut són nois. Quants nois hi ha?

Els problemes de percentatges els podem resoldre mitjançant una regla de tres directa.

A l'institut hi ha 142 nois.

 

Augments i disminucions percentuals

  • Augmentar una quantitat el t % equival a calcular el (100 + t)% de la quantitat.

  • Disminuir una quantitat el % equival a calcular el (100 — t)% de la quantitat.

Augments percentuals

Si de 100  (100 + augment)

de preu  Preu augmentat

 

Exemple

El preu de la gasolina s'ha apujat el 2%. Si costava 0,95 €/, quant costa ara?

Com que augmenta el 2%, el que abans valia 100 cèntims d'euro ara costa 100 + 2 = 102 cèntims.
Apliquem una regla de tres simple directa:

La gasolina costa ara 96,9 cèntims d'euro.

 

Disminucions percentuals

Si de 100  (100 — disminució)

de preu  Preu disminuït

 

Exemple

Una càmera de vídeo costa 650 €, però el venedor em fa una rebaixa del 20%. Quant he de pagar?

Com que disminueix el 20%, el que abans valia 100 € ara costa 100 - 20 = 80 €.Apliquem una regla de tres simple directa:

 

 

 

He de pagar 520 €.

 

Iterès simple

Quan ingressem una certa quantitat de diners al banc, l'entitat ens dóna un benefici que anomenem interès. L'interès és directament proporcional als diners dipositats i al temps que els tenim ingressats.

L'interès simpleI, és el benefici que origina una quantitat de diners denominada capital,C, en un tempst, amb un rèdit anual, r %.

 

Exemple

Un pagès ha decidit invertir els beneficis de la collita, que són 8.500 €, en un dipòsit al 3% anual durant 5 anys.

a) Quin interès obtindrà quan hagin passat els 5 anys?

a) Un rèdit del 3% anual significa que, en un any, per cada 100 € invertits, obtindrà 3 € d'interès. Per tant:

(Puede quitar la publicidad ampliando la cuenta)