Operaciones entre conjuntos

MATEMATICAS UNIVERSIDAD

EVALUACIÓN

Un axioma, en epistemología, es una “verdad evidente” que no requiere demostración, pues es admitida por todas las personas, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición “clásica”.

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, ¡P es verdadero.

 

Principio de inducción.

Dicho principio establece que para un conjunto determinado de números, ó elementos, si se prueba que determinada propiedad, o proposición es válida para el primer elemento del conjunto, y a su vez, tomando como hipótesis que es válido para "k" elemento siendo k un número natural, también probamos que se cumple para "k+1" siendo k+1 el inmediato siguiente de k, entonces esa propiedad o afirmación se cumple para todos los elementos del conjunto analizado.

Imaginemos que una de estas filas de fichas de dominó se extendiese hasta más allá de lo que alcanza la vista, y supongamos que sabemos que estos dos enunciados son verdad:

Enunciado 1: Alguien ha tirado la primera ficha.,

Enunciado 2: Si una ficha es derribada, entonces ésta tira la siguiente.

 

De 1 y 2 podemos concluir que todas las fichas acabarán cayendo. ¿Por qué? La respuesta es que, en primer lugar, sabemos que la primera ha caído por el enunciado 1. Sabemos también (por el segundo enunciado) que si la primera ficha cae, entonces derriba la segunda, así que ésta tendrá que caer. Y si la segunda ficha cae, entonces derriba la tercera (por el enunciado 2)... y así sucesivamente. Si alguien nos preguntase si la séptima (o la vigésima, o la milésima) iba a ser derribada, podríamos responder que sí, que la cadena de derribos se aproxima a ella inexorablemente y que la acabará tirando. Esto nos lleva a la afirmación del siguiente principio:

Principio de las fichas de dominó: En una fila de fichas de dominó en la que son verdad los enunciados 1 y 2, todas las fichas son finalmente derribadas.

Este principio, que puede parecer trivial, es sin embargo interesante porque es un caso particular del principio de inducción, que nos encontraremos más adelante y que nos servirá como arma para hacer algunas demostraciones importantes.

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