Ecuación Cuadrática

ÁLGEBRA PRIMARIA

INTRODUCCIÓN

Ecuación cuadrática 

 
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es una ecuación polinomica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incognita y que se expresa en la forma canónica:
 ax^2 + bx + c  = 0%5C,
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo general y es siempre distinto del número 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en  x^n%5C, es de la forma:
 ax^{2n}+bx^n+c=0 %5C,
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
 
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raices, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
x = %5Cfrac{-b %5Cpm %5Csqrt {b^2-4ac}}{2a} ,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
x_1 = %5Cfrac{-b + %5Csqrt {b^2-4ac}}{2a} y %5C x_2 = %5Cfrac{-b - %5Csqrt {b^2-4ac}}{2a}
son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
b^2 - 4ac %5C,
podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
  1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
  2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
  3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

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